Autoregressive Gleit Durchschnitt Simulation

Einführung in ARIMA Nichtseasonale Modelle. ARIMA p, d, q Vorhersage Gleichung ARIMA Modelle sind in der Theorie die allgemeinste Klasse von Modellen für die Vorhersage einer Zeitreihe, die gemacht werden kann, um stationär zu sein, indem sie gegebenenfalls, wenn auch in Verbindung mit nichtlinearen Transformationen, differenziert werden Wie z. B. Protokollierung oder Abblendung, wenn nötig Eine zufällige Variable, die eine Zeitreihe ist, ist stationär, wenn ihre statistischen Eigenschaften alle über die Zeit konstant sind. Eine stationäre Serie hat keinen Trend, ihre Variationen um ihren Mittelwert haben eine konstante Amplitude, und sie wackelt in einer konsistenten Weise Dh ihre kurzfristigen zufälligen Zeitmuster sehen immer in einem statistischen Sinn gleich aus. Die letztere Bedingung bedeutet, dass ihre Autokorrelationskorrelationen mit ihren eigenen vorherigen Abweichungen vom Mittel konstant über die Zeit bleiben oder äquivalent, dass sein Leistungsspektrum über die Zeit konstant bleibt Variable dieses Formulars kann wie gewöhnlich als eine Kombination von Signal und Rauschen betrachtet werden, und das Signal, wenn man offensichtlich ist, könnte ein Muster der schnellen oder langsamen mittleren Reversion oder sinusförmigen Oszillation oder eines schnellen Wechseles im Zeichen sein, und es könnte auch haben Eine saisonale Komponente Ein ARIMA-Modell kann als ein Filter betrachtet werden, der versucht, das Signal vom Rauschen zu trennen, und das Signal wird dann in die Zukunft extrapoliert, um Prognosen zu erhalten. Die ARIMA-Prognosegleichung für eine stationäre Zeitreihe ist eine lineare, dh regression - Typ-Gleichung, in der die Prädiktoren aus Verzögerungen der abhängigen Variablen und / oder Verzögerungen der Prognosefehler bestehen. Das ist. Gezahlter Wert von Y eine Konstante und / oder eine gewichtete Summe aus einem oder mehreren neueren Werten von Y und einer gewichteten Summe von eins oder Neuere Werte der Fehler. Wenn die Prädiktoren nur aus verzögerten Werten von Y bestehen, ist es ein reines autoregressives, selbstregressives Modell, das nur ein Spezialfall eines Regressionsmodells ist und mit Standardregressionssoftware ausgestattet werden könnte Erstklassiges autoregressives AR 1 - Modell für Y ist ein einfaches Regressionsmodell, bei dem die unabhängige Variable nur Y um eine Periode LAG Y, 1 in Statgraphics oder YLAG1 in RegressIt liegt. Wenn einige der Prädiktoren Fehler der Fehler sind, ein ARIMA-Modell Es handelt sich dabei nicht um ein lineares Regressionsmodell, denn es gibt keine Möglichkeit, den letzten Periodenfehler als eigenständige Variable anzugeben, die Fehler müssen auf einer Periodendauer berechnet werden, wenn das Modell an die Daten angepasst ist. Aus technischer Sicht ist die Problem bei der Verwendung von verzögerten Fehlern als Prädiktoren ist, dass die Vorhersagen des Modells keine linearen Funktionen der Koeffizienten sind, obwohl sie lineare Funktionen der vergangenen Daten sind. Daher müssen Koeffizienten in ARIMA-Modellen, die verzögerte Fehler enthalten, durch nichtlineare Optimierungsmethoden hill-climbing geschätzt werden Anstatt nur ein System von Gleichungen zu lösen. Das Akronym ARIMA steht für Auto-Regressive Integrated Moving Average Lags der stationären Serie in der Prognose Gleichung heißen autoregressive Begriffe, Verzögerungen der Prognosefehler werden als gleitende durchschnittliche Ausdrücke und eine Zeitreihe bezeichnet Die gestört werden muss, um stationär zu sein, soll eine integrierte Version einer stationären Serie sein. Random-Walk - und Random-Trend-Modelle, autoregressive Modelle und exponentielle Glättungsmodelle sind alle Sonderfälle von ARIMA-Modellen. Ein nicht seasonales ARIMA-Modell wird klassifiziert Als ARIMA p, d, q Modell, wobei p die Anzahl der autoregressiven Terme ist. d ist die Anzahl der für die Stationarität benötigten Nichtseasonalunterschiede und ist die Anzahl der verzögerten Prognosefehler in der Vorhersagegleichung. Die Prognosegleichung ist Konstruiert wie folgt Zuerst bezeichne y die d-te Differenz von Y, die bedeutet. Hinweis, dass die zweite Differenz von Y der d 2 Fall ist nicht der Unterschied von 2 Perioden vor Vielmehr ist es die erste Differenz-of-the-first Unterschied, das ist das diskrete Analog einer zweiten Ableitung, dh die lokale Beschleunigung der Serie und nicht die lokale Tendenz. In Bezug auf y die allgemeine Prognose Gleichung ist. Hier sind die gleitenden durchschnittlichen Parameter s definiert, so dass ihre Zeichen sind negativ in der Gleichung, nach der Konvention von Box und Jenkins eingeführt Einige Autoren und Software einschließlich der R-Programmiersprache definieren sie so, dass sie Pluszeichen statt haben Wenn die tatsächlichen Zahlen in die Gleichung gesteckt sind, gibt es keine Mehrdeutigkeit, aber es ist wichtig zu wissen, welche Konvention Ihre Software verwendet, wenn Sie die Ausgabe lesen Oft werden die Parameter dort mit AR 1, AR 2, und MA 1, MA 2, etc. identifiziert. Um das passende ARIMA-Modell für Y zu identifizieren, beginnen Sie mit der Bestimmung der Reihenfolge der differenzierenden d Notwendigkeit Um die Serie zu stationieren und die Brutto-Features der Saisonalität zu entfernen, vielleicht in Verbindung mit einer Varianz-stabilisierenden Transformation wie Logging oder Deflating Wenn Sie an dieser Stelle stoppen und voraussagen, dass die differenzierte Serie konstant ist, haben Sie nur einen zufälligen Spaziergang oder zufällig platziert Trendmodell Allerdings können die stationärisierten Serien noch autokorrelierte Fehler aufweisen, was darauf hindeutet, dass in der Prognosegleichung auch eine Anzahl von AR-Terme p1 und / oder einige Anzahl MA-Terme q1 erforderlich sind. Verfahren zur Bestimmung der Werte von p, d und Q, die am besten für eine gegebene Zeitreihe sind, werden in späteren Abschnitten der Notizen besprochen, deren Links oben auf dieser Seite stehen, aber eine Vorschau auf einige der Arten von nicht-seasonalen ARIMA-Modellen, die häufig angetroffen werden, ist unten angegeben. ARIMA 1 , 0,0 erstklassiges autoregressives Modell, wenn die Serie stationär und autokorreliert ist, vielleicht kann es als ein Vielfaches ihres eigenen vorherigen Wertes prognostiziert werden, plus eine Konstante Die Prognosegleichung in diesem Fall ist. das ist Y, das auf sich selbst zurückgeblieben ist Eine Periode Dies ist ein ARIMA 1,0,0 Konstante Modell Wenn der Mittelwert von Y Null ist, dann wäre der konstante Term nicht enthalten. Wenn der Steigungskoeffizient 1 positiv und kleiner als 1 in der Größenordnung ist, muss er kleiner als 1 in sein Größe, wenn Y stationär ist, beschreibt das Modell das Mittel-Rückkehr-Verhalten, bei dem der nächste Perioden-s-Wert 1 mal so weit weg von dem Mittelwert liegen sollte, wie dieser Periodenwert Wenn 1 negativ ist, prognostiziert er das Mittel-Rückkehr-Verhalten mit Wechsel Von Zeichen, dh es sagt auch voraus, dass Y unterhalb der mittleren nächsten Periode sein wird, wenn es über dem Mittelwert dieser Periode liegt. In einem autoregressiven Modell der zweiten Ordnung ARIMA 2,0,0 würde es einen Y-t-2-Term geben Genau so gut und so weiter Abhängig von den Zeichen und Größenordnungen der Koeffizienten könnte ein ARIMA 2.0,0 Modell ein System beschreiben, dessen mittlere Reversion in einer sinusförmig oszillierenden Weise stattfindet, wie die Bewegung einer Masse auf einer Feder, die Wird zufälligen Schocks ausgesetzt. ARIMA 0,1,0 zufälliger Spaziergang Wenn die Serie Y nicht stationär ist, ist das einfachste Modell für sie ein zufälliges Spaziergangmodell, das als Begrenzungsfall eines AR 1 - Modells betrachtet werden kann Autoregressiver Koeffizient ist gleich 1, dh eine Reihe mit unendlich langsamer mittlerer Reversion Die Vorhersagegleichung für dieses Modell kann wie überall geschrieben werden, wo der konstante Term die durchschnittliche Periodenänderung ist, dh die Langzeitdrift in Y Dieses Modell könnte sein Als ein Nicht-Intercept-Regressionsmodell, bei dem die erste Differenz von Y die abhängige Variable ist, da sie nur eine nicht-seasonale Differenz und einen konstanten Term enthält, wird sie als ARIMA 0,1,0-Modell mit Konstante klassifiziert. Die zufällige Walk - Ohne - Drift-Modell wäre ein ARIMA-0,1,0-Modell ohne constant. ARIMA 1,1,0 differenzierte Autoregressive Modell erster Ordnung Wenn die Fehler eines zufälligen Walk-Modells autokorreliert sind, kann das Problem eventuell durch Hinzufügen einer Verzögerung behoben werden Der abhängigen Variablen zur Vorhersagegleichung - dh durch Rückkehr der ersten Differenz von Y auf sich selbst verzögert um eine Periode Dies würde die folgende Vorhersagegleichung ergeben, die umgeordnet werden kann. Dies ist ein autoregressives Modell erster Ordnung mit einer Ordnung von Nonseasonal differenzing und ein konstanter term - dh ein ARIMA 1,1,0 model. ARIMA 0,1,1 ohne konstante einfache exponentielle Glättung Eine weitere Strategie zur Korrektur autokorrelierter Fehler in einem zufälligen Walk-Modell wird durch das einfache exponentielle Glättungsmodell vorgeschlagen Für einige nichtstationäre Zeitreihen, z. B. solche, die geräuschvolle Schwankungen um ein langsam variierendes Mittel aufweisen, führt das zufällige Spaziergangmodell nicht so gut wie ein gleitender Durchschnitt der vergangenen Werte. Anders ausgedrückt, anstatt die jüngste Beobachtung als die Prognose der Nächste Beobachtung ist es besser, einen Durchschnitt der letzten Beobachtungen zu verwenden, um das Rauschen herauszufiltern und den lokalen Mittel genauer zu schätzen. Das einfache exponentielle Glättungsmodell verwendet einen exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt der vergangenen Werte, um diesen Effekt zu erzielen. Die Vorhersagegleichung Denn das einfache exponentielle Glättungsmodell kann in einer Anzahl von mathematisch äquivalenten Formen geschrieben werden, von denen eine die sogenannte Fehlerkorrekturform ist, in der die vorherige Prognose in Richtung des von ihr vorgenommenen Fehlers eingestellt wird. Weil e t-1 Y T-1 - t-1 per definitionem kann dies umgeschrieben werden, da ist eine ARIMA 0,1,1 - without-konstante Prognosegleichung mit 1 1 - das bedeutet, dass man eine einfache exponentielle Glättung platzieren kann, indem man sie als ARIMA 0,1,1 Modell ohne Konstante, und der geschätzte MA 1 - Koeffizient entspricht 1-minus-alpha in der SES-Formel Erinnern Sie sich, dass im SES-Modell das Durchschnittsalter der Daten in den Prognosen von 1 Periode 1 beträgt Was bedeutet, dass sie tendenziell hinter Trends oder Wendepunkten um etwa 1 Perioden zurückbleiben. Daraus folgt, dass das Durchschnittsalter der Daten in den 1-Periodenprognosen eines ARIMA 0,1,1 - without-constant-Modells 1 1 - 1 Wenn also 1 0 8 das Durchschnittsalter 5 ist, so nähert sich das ARIMA 0,1,1 - without-konstantes Modell zu einem sehr langfristigen gleitenden Durchschnitt, und wenn 1 sich nähert, wird es Ein zufälliges Spaziergang ohne Drift-Modell. Was ist der beste Weg, um die Autokorrelation zu korrigieren, indem man AR-Terme hinzufügt oder MA-Terme hinzufügt. In den vorangegangenen zwei Modellen, die oben diskutiert wurden, wurde das Problem der autokorrelierten Fehler in einem zufälligen Walk-Modell auf zwei verschiedene Arten festgelegt Durch Hinzufügen eines verzögerten Wertes der differenzierten Reihe zur Gleichung oder Hinzufügen eines verzögerten Wertes des Prognosefehlers, welcher Ansatz am besten ist. Ein Schlüsselbund für diese Situation, der später ausführlicher erörtert wird, ist die positive Autokorrelation In der Regel am besten behandelt durch Hinzufügen eines AR-Begriffs zum Modell und negative Autokorrelation ist in der Regel am besten durch Hinzufügen eines MA-Begriffs In Business-und wirtschaftlichen Zeitreihen, negative Autokorrelation oft entsteht als Artefakt der Differenzierung Im Allgemeinen, differenziert reduziert positive Autokorrelation und kann sogar verursachen Ein Wechsel von positiver zu negativer Autokorrelation So wird das ARIMA-0,1,1-Modell, bei dem die Differenzierung von einem MA-Term begleitet wird, häufiger als ein ARIMA 1,1,0-Modell verwendet. ARIMA 0,1,1 mit konstantem Einfache exponentielle Glättung mit Wachstum Durch die Implementierung des SES-Modells als ARIMA-Modell erhalten Sie tatsächlich eine gewisse Flexibilität Zunächst einmal darf der geschätzte MA 1 - Koeffizient negativ sein, dies entspricht einem Glättungsfaktor größer als 1 in einem SES-Modell In der Regel nicht erlaubt durch das SES-Modell-Anpassungsverfahren Zweitens haben Sie die Möglichkeit, einen konstanten Begriff in das ARIMA-Modell einzubeziehen, wenn Sie es wünschen, um einen durchschnittlichen Nicht-Null-Trend zu schätzen. Das ARIMA-0,1,1-Modell mit Konstante hat Die Vorhersagegleichung. Die Prognosen für ein Periodenabschätzung von diesem Modell sind qualitativ ähnlich denen des SES-Modells, mit der Ausnahme, dass die Trajektorie der Langzeitprognosen typischerweise eine abfallende Linie ist, deren Steigung gleich mu ist, anstatt einer horizontalen Linie. ARIMA 0,2,1 oder 0,2,2 ohne konstante lineare exponentielle Glättung Lineare exponentielle Glättungsmodelle sind ARIMA-Modelle, die zwei Nichtseason-Differenzen in Verbindung mit MA-Terme verwenden. Der zweite Unterschied einer Serie Y ist nicht einfach der Unterschied zwischen Y und Selbst ist von zwei Perioden verzögert, aber vielmehr ist es der erste Unterschied der ersten Differenz - der Wechsel-in-der-Änderung von Y in der Periode t. Somit ist die zweite Differenz von Y in der Periode t gleich Yt-Y T-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 Eine zweite Differenz einer diskreten Funktion ist analog zu einer zweiten Ableitung einer stetigen Funktion, die die Beschleunigung oder Krümmung in der Funktion misst Zu einem gegebenen Zeitpunkt. Das ARIMA-0,2,2-Modell ohne Konstante prognostiziert, dass die zweite Differenz der Serie gleich einer linearen Funktion der letzten beiden Prognosefehler ist, die umgestellt werden kann, wo 1 und 2 die MA 1 sind Und MA 2 Koeffizienten Dies ist ein allgemeines lineares exponentielles Glättungsmodell, das im Wesentlichen das gleiche wie das Holt-Modell ist, und das Brown-Modell ist ein Spezialfall Es verwendet exponentiell gewichtete Bewegungsdurchschnitte, um sowohl eine lokale Ebene als auch einen lokalen Trend in der Serie zu schätzen. Term-Prognosen aus diesem Modell konvergieren zu einer Geraden, deren Steigung von der durchschnittlichen Tendenz abhängt, die gegen Ende der Serie beobachtet wird. ARIMA 1,1,2 ohne konstante gedämpfte Trend lineare exponentielle Glättung. Dieses Modell ist in den begleitenden Folien auf ARIMA dargestellt Modelle Es extrapoliert den lokalen Trend am Ende der Serie, aber legt es bei längeren Prognosehorizonten ab, um eine Note des Konservatismus einzuführen, eine Praxis, die empirische Unterstützung hat. Sehen Sie den Artikel auf Warum der gedämpfte Trend von Gardner und McKenzie und der Goldenen Regel arbeitet Artikel von Armstrong et al für Details. Es ist in der Regel ratsam, an Modellen, in denen mindestens eines von p und q ist nicht größer als 1, dh nicht versuchen, ein Modell wie ARIMA 2,1,2, wie dies zu passen Dürfte zu Überfüllung und Gemeinsamen Faktoren führen, die in den Anmerkungen zur mathematischen Struktur von ARIMA-Modellen näher erörtert werden. Spreadsheet-Implementierung ARIMA-Modelle wie die oben beschriebenen sind einfach in einer Tabellenkalkulation implementierbar. Die Vorhersagegleichung ist einfach ein Lineare Gleichung, die sich auf vergangene Werte der ursprünglichen Zeitreihen und vergangene Werte der Fehler bezieht. So können Sie eine ARIMA-Prognosekalkulationstabelle einrichten, indem Sie die Daten in Spalte A, die Prognosemethode in Spalte B und die Fehlerdaten abzüglich Prognosen in Spalte speichern C Die Vorhersageformel in einer typischen Zelle in Spalte B wäre einfach ein linearer Ausdruck, der sich auf Werte in vorhergehenden Zeilen der Spalten A und C bezieht, multipliziert mit den entsprechenden AR - oder MA-Koeffizienten, die in Zellen anderswo auf der Kalkulationstabelle gespeichert sind. Autoregressiver gleitender Durchschnittsfehler Prozesse ARMA-Fehler und andere Modelle, die Verzögerungen von Fehlerbegriffen beinhalten, können mit Hilfe von FIT-Anweisungen geschätzt und mit SOLVE-Anweisungen simuliert oder prognostiziert werden. ARMA-Modelle für den Fehlerprozess werden häufig für Modelle mit autokorrelierten Resten verwendet. Das AR-Makro kann verwendet werden, um Modelle zu spezifizieren Mit autoregressiven Fehlerprozessen Das MA-Makro kann verwendet werden, um Modelle mit gleitenden durchschnittlichen Fehlerprozessen zu spezifizieren. Autoregressive Fehler. Ein Modell mit Autoregressivfehlern erster Ordnung, AR 1, hat die Form. Während ein AR 2 Fehlerprozess hat die Form. und So weiter für höherwertige Prozesse Beachten Sie, dass die s unabhängig und identisch verteilt sind und einen erwarteten Wert von 0 haben. Ein Beispiel für ein Modell mit einer AR 2 - Komponente ist und so weiter für höherwertige Prozesse. Zum Beispiel können Sie Schreiben Sie ein einfaches lineares Regressionsmodell mit MA 2 Moving-Average-Fehlern, da MA1 und MA2 die Moving-Average-Parameter sind. Hinweis, dass RESID Y automatisch von PROC MODEL definiert wird. Hinweis, dass RESID Y negativ ist. Die ZLAG-Funktion muss Für MA-Modelle verwendet werden, um die Rekursion der Verzögerungen abzuschneiden. Dadurch wird sichergestellt, dass die verzögerten Fehler in der Lag-Priming-Phase bei Null anfangen und bei fehlenden Fehlern keine fehlenden Werte ausbreiten und es sicherstellt, dass die zukünftigen Fehler vorliegen Null anstatt fehlt während der Simulation oder Prognose Für Details über die Lag-Funktionen, siehe den Abschnitt Lag Logic. This Modell geschrieben mit dem MA-Makro ist wie folgt. General Form für ARMA-Modelle. Die allgemeine ARMA p, q Prozess hat die folgende Form. Ein ARMA p, q-Modell kann wie folgt spezifiziert werden: Wo AR i und MA j die autoregressiven und gleitenden Durchschnittsparameter für die verschiedenen Verzögerungen darstellen, können Sie beliebige Namen für diese Variablen verwenden und es gibt viele äquivalente Möglichkeiten, dass die Spezifikation Könnte geschrieben werden. Vector ARMA-Prozesse können auch mit PROC MODEL geschätzt werden. Beispielsweise kann ein zweibändiger AR 1 - Prozeß für die Fehler der beiden endogenen Variablen Y1 und Y2 wie folgt spezifiziert werden. Konvergenzprobleme mit ARMA Models. ARMA-Modellen können Schwierig zu schätzen Wenn die Parameterschätzungen nicht innerhalb des entsprechenden Bereichs liegen, wachsen die restlichen Begriffe eines gleitenden Durchschnittsmodells exponentiell Die berechneten Residuen für spätere Beobachtungen können sehr groß sein oder überlaufen. Dies kann entweder geschehen, weil falsche Startwerte verwendet wurden oder weil Die Iterationen wurden von vernünftigen Werten entfernt. Bei der Auswahl von Startwerten für ARMA-Parameter sollten Startwerte von 0 001 für ARMA-Parameter verwendet werden, wenn das Modell gut auf die Daten passt und das Problem gut konditioniert ist. Beachten Sie, dass ein MA-Modell oftmals möglich ist Durch ein höherwertiges AR-Modell angenähert werden und umgekehrt Dies kann zu einer hohen Kollinearität in gemischten ARMA-Modellen führen, was wiederum eine ernsthafte Konditionierung in den Berechnungen und Instabilitäten der Parameterschätzungen verursachen kann. Wenn Sie Konvergenzprobleme haben, während Sie schätzen Ein Modell mit ARMA-Fehlerprozessen, versuchen, in Schritten zu schätzen Zuerst verwenden Sie eine FIT-Anweisung, um nur die strukturellen Parameter mit den ARMA-Parametern auf Null oder zu vernünftigen vorherigen Schätzungen zu schätzen, falls verfügbar Als nächstes verwenden Sie eine andere FIT-Anweisung, um nur die ARMA-Parameter zu schätzen , Wobei die strukturellen Parameterwerte aus dem ersten Lauf verwendet werden Da die Werte der Strukturparameter wahrscheinlich nahe an ihren endgültigen Schätzungen liegen, können die ARMA-Parameterschätzungen nun konvergieren. Schließlich verwenden wir eine andere FIT-Anweisung, um gleichzeitige Schätzungen aller Parameter zu erzeugen Die Anfangswerte der Parameter sind nun wahrscheinlich ganz nahe bei ihren endgültigen gemeinsamen Schätzungen, die Schätzungen sollten schnell konvergieren, wenn das Modell für die Daten geeignet ist. AR Anfangsbedingungen. Die anfänglichen Verzögerungen der Fehlerterme von AR p-Modellen können modelliert werden In unterschiedlicher Weise Die autoregressiven Fehlerstartmethoden, die von SAS-ETS-Prozeduren unterstützt werden, sind die folgenden kleinsten Quadrate ARIMA - und MODEL-Prozeduren. bedingten kleinsten Quadrate AUTOREG-, ARIMA - und MODELL-Prozeduren. Maximum Wahrscheinlichkeit AUTOREG-, ARIMA - und MODEL-Prozeduren. Jule-Walker AUTOREG Prozedur nur. Hildreth-Lu, die die ersten P-Beobachtungen MODELL-Prozedur nur löscht. Siehe Kapitel 8, Die AUTOREG-Prozedur, für eine Erklärung und Diskussion der Verdienste der verschiedenen AR p Startmethoden. Die CLS, ULS, ML und HL Initialisierungen Kann durch PROC MODEL durchgeführt werden Für AR 1 Fehler können diese Initialisierungen wie in Tabelle 18 2 dargestellt hergestellt werden. Diese Methoden sind in großen Samples äquivalent. Tabelle 18 2 Initialisierungen, die von PROC MODEL AR 1 ERRORS durchgeführt werden. Die anfänglichen Verzögerungen der Fehlerterme von MA q-Modelle können auch auf unterschiedliche Weise modelliert werden Die folgenden gleitenden durchschnittlichen Fehler-Start-up-Paradigmen werden von den ARIMA - und MODEL-Prozeduren unterstützt. bedingten kleinsten Quadrate. Konditionale kleinste Quadrate. Die bedingte Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung von gleitenden durchschnittlichen Fehlerbegriffen ist Nicht optimal, weil es das Start-up-Problem ignoriert Dies reduziert die Effizienz der Schätzungen, obwohl sie nach wie vor bleiben Die anfänglichen verzögerten Residuen, die sich vor dem Start der Daten erstrecken, werden als 0 angenommen, ihr unbedingter Erwartungswert. Dies führt zu einer Differenz zwischen Diese Residuen und die verallgemeinerten kleinsten Quadrate Reste für die gleitendurchschnittliche Kovarianz, die im Gegensatz zum autoregressiven Modell durch den Datensatz anhält. Normalerweise konvergiert diese Differenz schnell auf 0, aber bei nahezu nicht verformbaren gleitenden Mittelprozessen ist die Konvergenz ziemlich langsam, um zu minimieren Dieses Problem, sollten Sie viele Daten haben, und die gleitenden durchschnittlichen Parameter Schätzungen sollten gut innerhalb der invertierbaren Bereich. Dieses Problem kann auf Kosten des Schreibens eines komplexeren Programms korrigiert werden Unbedingte kleinste Quadrate Schätzungen für die MA 1 Prozess kann sein Produziert durch die Angabe des Modells wie folgt. Moving-durchschnittliche Fehler können schwer zu schätzen sein Sie sollten die Verwendung einer AR p-Näherung an den gleitenden Durchschnitt-Prozess Ein Gleit-Durchschnitt-Prozess kann in der Regel gut angenähert durch einen autoregressiven Prozess, wenn die Daten haben Wurde nicht geglättet oder differenziert. Der AR-Makro. Das SAS-Makro AR generiert Programmieranweisungen für PROC MODEL für autoregressive Modelle Das AR-Makro ist Teil der SAS-ETS-Software und es sind keine speziellen Optionen erforderlich, um das Makro zu verwenden. Der autoregressive Prozess kann sein Angewendet auf die strukturellen Gleichungsfehler oder auf die endogene Reihe selbst. Das AR-Makro kann für die folgenden Arten von autoregression. unrestricted vector autoregression. restricted vector autoregression. Univariate Autoregression. Univariate Autoregression verwendet werden. Um Modell der Fehler Begriff einer Gleichung als autoregressive Prozess, Verwenden Sie die folgende Aussage nach der Gleichung. Zum Beispiel nehmen wir an, dass Y eine lineare Funktion von X1, X2 und ein AR 2 - Fehler ist. Sie würden dieses Modell wie folgt schreiben. Die Anrufe nach AR müssen nach allen Gleichungen kommen, die der Prozess ist Gilt für den vorangehenden Makroaufruf, AR y, 2, erzeugt die in der LIST-Ausgabe in Abbildung 18 58 dargestellten Aussagen. Abbildung 18 58 LIST Option Ausgang für ein AR 2 - Modell Die PRED-vordefinierten Variablen sind temporäre Programmvariablen, die so verwendet werden, dass die Verzögerungen der Residuen sind die korrekten Residuen und nicht die, die durch diese Gleichung neu definiert werden. Beachten Sie, dass dies den Aussagen entspricht, die explizit in den Abschnitt General Form for ARMA Models geschrieben sind. Sie können auch die autoregressiven Parameter auf Null bei ausgewählten Lags beschränken. Wenn Sie autoregressive Parameter an den Verzögerungen 1, 12 und 13 wünschen, können Sie die folgenden Aussagen verwenden. Diese Anweisungen erzeugen die in Abbildung 18 59 dargestellte Ausgabe. Abbildung 18 59 LIST Option Ausgabe für ein AR-Modell mit Lags bei 1, 12 und 13.Die MODEL Prozedur. Liste des kompilierten Programms Code. Statement als Parsed. PRED yab x1 c x2.RESID y PRED y - ACTUAL y. ERROR y PRED y - y. OLDPRED y PRED y yl1 ZLAG1 y - perdy yl12 ZLAG12 y - Perdy yl13 ZLAG13 y - PREDY. RESID y PRED y - ACTUAL y. ERROR y PRED y - y. Es gibt Variationen über die bedingte Methode der kleinsten Quadrate, je nachdem, ob Beobachtungen zu Beginn der Serie zum Aufwärmen des AR Prozesses verwendet werden Standardmäßig verwendet die AR-bedingte Methode der kleinsten Quadrate alle Beobachtungen und nimmt Nullen für die anfänglichen Verzögerungen von autoregressiven Begriffen an. Mit Hilfe der M-Option können Sie anfordern, dass AR die bedingungslose Kleinste-Quadrate-ULS - oder Maximum-Likelihood-ML-Methode verwendet. Diskussionen dieser Methoden finden Sie im Abschnitt AR Anfangsbedingungen. Mit der Option M CLS n können Sie verlangen, dass die ersten n Beobachtungen verwendet werden, um Schätzungen der anfänglichen autoregressiven Verzögerungen zu berechnen. In diesem Fall beginnt die Analyse mit der Beobachtung n 1 Zum Beispiel können Sie das AR-Makro verwenden, um ein autoregressives Modell an die endogene Variable anstelle des Fehlerbegriffs anzuwenden, indem Sie die Option TYPE V verwenden. Wenn Sie z. B. die fünf vergangenen Verzögerungen von Y der Gleichung hinzufügen möchten Im vorherigen Beispiel können Sie AR verwenden, um die Parameter und Verzögerungen zu erzeugen, indem Sie die folgenden Anweisungen verwenden. Die vorherigen Anweisungen erzeugen die in Abbildung 18 60 gezeigte Ausgabe. Abbildung 18 60 LIST Option Ausgang für ein AR-Modell von Y. Dieses Modell prognostiziert Y als Eine lineare Kombination von X1, X2, einem Intercept und den Werten von Y in den letzten fünf Perioden. Unbegrenzte Vector Autoregression. Um die Fehlerterme eines Satzes von Gleichungen als Vektor autoregressiven Prozess zu modellieren, verwenden Sie die folgende Form des AR Makro nach den Gleichungen. Der Prozessname-Wert ist ein beliebiger Name, den Sie für AR verwenden, um Namen für die autoregressiven Parameter zu verwenden. Sie können das AR-Makro verwenden, um mehrere verschiedene AR-Prozesse für verschiedene Sätze von Gleichungen zu modellieren, indem Sie für jeden Satz unterschiedliche Prozessnamen verwenden Der Prozeßname stellt sicher, dass die verwendeten Variablennamen eindeutig sind. Verwenden Sie einen kurzen Prozessnamenwert für den Prozess, wenn Parameterschätzungen in einen Ausgabedatensatz geschrieben werden sollen. Das AR-Makro versucht, Parameternamen zu erstellen, die kleiner oder gleich acht Zeichen sind, aber das ist Begrenzt durch die Länge des Prozessnamens, die als Präfix für die AR-Parameternamen verwendet wird. Der Variablenlistenwert ist die Liste der endogenen Variablen für die Gleichungen. Zum Beispiel nehmen wir an, dass Fehler für die Gleichungen Y1, Y2 und Y3 um eine Sekunde erzeugt werden - Rechner autoregressiver Prozess Sie können die folgenden Aussagen verwenden, die für Y1 und ähnlichen Code für Y2 und Y3 generieren. Nur die bedingte kleinste Quadrate M CLS oder M CLS n Methode können für Vektorprozesse verwendet werden. Sie können auch die Gleiche Form mit Einschränkungen, dass die Koeffizientenmatrix bei ausgewählten Verzögerungen 0 ist. Beispielsweise wenden die folgenden Aussagen einen Vektorprozess dritter Ordnung an die Gleichungsfehler mit allen Koeffizienten bei Verzögerung 2 an, die auf 0 beschränkt ist, und mit den Koeffizienten bei Verzögerungen 1 und 3 uneingeschränkt. Sie können die drei Serien Y1 Y3 als Vektor autoregressiven Prozess in den Variablen anstatt in den Fehlern unter Verwendung der TYPE V Option modellieren Wenn du Y1 Y3 als Funktion von vergangenen Werten von Y1 Y3 und einigen exogenen Variablen oder Konstanten modellieren möchtest , Können Sie AR verwenden, um die Anweisungen für die Verzögerungsbegriffe zu erzeugen. Schreiben Sie eine Gleichung für jede Variable für den nichtautoregressiven Teil des Modells und rufen Sie dann AR mit der Option TYPE V an. Der nichtautoregressive Teil des Modells kann eine Funktion von sein Exogene Variablen, oder es können Intercept-Parameter sein Wenn es keine exogenen Komponenten zum Vektor-Autoregression-Modell gibt, einschließlich keine Abschnitte, dann null zu jeder der Variablen zuweisen Es muss eine Zuordnung zu jeder der Variablen geben, bevor AR aufgerufen wird. Dieses Beispiel Modelliert den Vektor Y Y1 Y2 Y3 als lineare Funktion nur seines Wertes in den vorherigen zwei Perioden und ein weißer Rauschfehlervektor Das Modell hat 18 3 3 3 3 Parameter. Syntax des AR Macro. Es gibt zwei Fälle der Syntax von Das AR-Makro Wenn keine Beschränkungen für einen Vektor-AR-Prozess benötigt werden, hat die Syntax des AR-Makros die allgemeine Form. Spezifiziert ein Präfix für AR, das beim Erstellen von Namen von Variablen verwendet wird, die benötigt werden, um den AR-Prozess zu definieren. Wenn der Endolist nicht angegeben ist, Die endogene Liste steht standardmäßig zur Bezeichnung, die der Name der Gleichung sein muss, auf die der AR-Fehlerprozeß angewendet werden soll. Der Namenswert darf 32 Zeichen nicht überschreiten. Ist die Reihenfolge des AR-Prozesses. Spezifiziert die Liste der Gleichungen, denen der AR-Prozeß entspricht Ist anzuwenden Wenn mehr als ein Name gegeben wird, wird ein uneingeschränkter Vektorprozess mit den strukturellen Resten aller Gleichungen erstellt, die als Regressoren in jeder der Gleichungen enthalten sind. Wenn nicht angegeben, endet der Endolist standardmäßig. Spezialisiert die Liste der Verzögerungen, bei denen Die AR-Terme sind hinzuzufügen. Die Koeffizienten der Terme, die nicht aufgeführt sind, werden auf 0 gesetzt. Alle aufgeführten Lags müssen kleiner oder gleich nlag sein und es müssen keine Duplikate vorhanden sein. Wenn nicht angegeben, wird die Laglist standardmäßig auf alle Verzögerungen 1 gesetzt Durch nlag. spezifiziert die Schätzmethode zur Implementierung Gültige Werte von M sind CLS bedingte kleinste Quadrate Schätzungen, ULS unbedingte kleinste Quadrate Schätzungen und ML Maximum Likelihood Schätzungen M CLS ist die Voreinstellung Nur M CLS ist erlaubt, wenn mehr als eine Gleichung angegeben ist Die ULS Und ML-Methoden werden nicht für Vektor-AR-Modelle von AR unterstützt. Spezialisiert, dass der AR-Prozess auf die endogenen Variablen selbst anstatt auf die strukturellen Residuen der Gleichungen angewendet werden soll. Restricted Vector Autoregression. Sie können steuern, welche Parameter in der enthalten sind Prozess, beschränken auf 0 die Parameter, die Sie nicht enthalten Zuerst verwenden Sie AR mit der DEFER-Option, um die Variablenliste zu deklarieren und definieren Sie die Dimension des Prozesses Dann verwenden Sie zusätzliche AR-Aufrufe, um Begriffe für ausgewählte Gleichungen mit ausgewählten Variablen an ausgewählten Lags zu generieren Zum Beispiel sind die erzeugten Fehlergleichungen wie folgt: Dieses Modell besagt, daß die Fehler für Y1 von den Fehlern von Y1 und Y2 abhängen, aber nicht Y3 bei beiden Verzögerungen 1 und 2, und daß die Fehler für Y2 und Y3 von dem vorherigen abhängen Fehler für alle drei Variablen, aber nur bei Verzögerung 1. AR-Makro-Syntax für eingeschränkte Vektor-AR. Eine alternative Verwendung von AR erlaubt es, Einschränkungen für einen Vektor-AR-Prozess aufzuerlegen, indem man AR mehrmals aufruft, um verschiedene AR-Terme und Verzögerungen für verschiedene Gleichungen anzugeben. Der erste Aufruf hat die allgemeine Form. Spezifiziert ein Präfix für AR, um bei der Erstellung von Namen von Variablen zu verwenden, die benötigt werden, um den Vektor AR-Prozess zu definieren. Spezifiziert die Reihenfolge des AR-Prozesses. Spezifiziert die Liste der Gleichungen, auf die der AR-Prozess sein soll Angewendet wird, dass AR nicht den AR-Prozess generieren soll, sondern auf weitere Informationen warten muss, die in späteren AR-Aufrufen für denselben Namenswert angegeben sind. Die nachfolgenden Aufrufe haben die allgemeine Form. is ist die gleiche wie im ersten Aufruf. Spezialisiert die Liste Von Gleichungen, auf die die Vorgaben in diesem AR-Aufruf angewendet werden sollen Nur Namen, die im endolistischen Wert des ersten Aufrufs für den Namenswert angegeben sind, können in der Liste der Gleichungen in der eqlist erscheinen. Spezifiziert die Liste der Gleichungen, deren verzögerte strukturelle Residuen sind Als Regressoren in den Gleichungen in eqlist aufgenommen werden Nur Namen im Endolisten des ersten Aufrufs für den Namen Wert können in varlist erscheinen Wenn nicht angegeben, varlist Vorgaben auf endolist. spezifiziert die Liste der Verzögerungen, an denen die AR-Begriffe hinzugefügt werden sollen Koeffizienten der Begriffe bei nicht aufgelisteten Verzögerungen werden auf 0 gesetzt. Alle aufgeführten Lags müssen kleiner oder gleich dem Wert von nlag sein und es müssen keine Duplikate vorhanden sein. Wenn nicht angegeben, wird die Laglist standardmäßig auf alle Verzögerungen 1 bis nlag gesetzt. MA Makro. Das SAS-Makro MA generiert Programmieranweisungen für PROC MODEL für gleitende Mittelmodelle Das MA-Makro ist Teil der SAS-ETS-Software und es sind keine speziellen Optionen erforderlich, um das Makro zu verwenden. Der gleitende Durchschnittsfehler kann auf die strukturellen Gleichungsfehler angewendet werden Die Syntax des MA-Makros ist dasselbe wie das AR-Makro, außer es gibt kein TYPE-Argument. Wenn Sie die MA - und AR-Makros kombiniert verwenden, muss das MA-Makro dem AR-Makro folgen. Die folgenden SAS-IML-Anweisungen erzeugen eine ARMA 1, 1 3 Fehlerprozess und speichern Sie sie im Datensatz MADAT2. Die folgenden PROC MODEL-Anweisungen werden verwendet, um die Parameter dieses Modells mit Hilfe der maximalen Wahrscheinlichkeitsfehlerstruktur zu schätzen. Die Schätzungen der Parameter, die durch diesen Lauf erzeugt werden, sind in Abbildung 18 61 dargestellt 18 61 Schätzungen aus einer ARMA 1, 1 3 Prozess. Es gibt zwei Fälle der Syntax für den MA-Makro Wenn keine Einschränkungen für einen Vektor-MA-Prozess benötigt werden, hat die Syntax des MA-Makros die allgemeine Form. Spezifiziert ein Präfix für MA Zu verwenden, um Namen von Variablen zu verwenden, die benötigt werden, um den MA-Prozess zu definieren und ist der Standard endolist. is die Reihenfolge des MA-Prozesses. Spezifiziert die Gleichungen, auf die der MA-Prozess angewendet werden soll Wenn mehr als ein Name gegeben ist, ist die CLS-Schätzung used for the vector process. specifies the lags at which the MA terms are to be added All of the listed lags must be less than or equal to nlag and there must be no duplicates If not specified, the laglist defaults to all lags 1 through nlag. specifies the estimation method to implement Valid values of M are CLS conditional least squares estimates , ULS unconditional least squares estimates , and ML maximum likelihood estimates M CLS is the default Only M CLS is allowed when more than one equation is specified in the endolist. MA Macro Syntax for Restricted Vector Moving-Average. An alternative use of MA is allowed to impose restrictions on a vector MA process by calling MA several times to specify different MA terms and lags for different equations. The first call has the general form. specifies a prefix for MA to use in constructing names of variables needed to define the vector MA process. specifies the order of the MA process. specifies the list of equations to which the MA process is to be applied. specifies that MA is not to generate the MA process but is to wait for further information specified in later MA calls for the same name value. The subsequent calls have the general form. is the same as in the first call. specifies the list of equations to which the specifications in this MA call are to be applied. specifies the list of equations whose lagged structural residuals are to be included as regressors in the equations in eqlist. specifies the list of lags at which the MA terms are to be added. Autoregressive Moving-Average Simulation First Order. The Demonstration is set such that the same random series of points is used no matter how the constants and are varied However, when the randomize button is pressed, a new random series will be generated and used Keeping the random series identical allows the user to see exactly the effects on the ARMA series of changes in the two constants The constant is limited to -1,1 because divergence of the ARMA series results when. The Demonstration is for a first-order process only Additional AR terms would enable more complex series to be generated, while additional MA terms would increase the smoothing. For a detailed description of ARMA processes, see, for instance, G Box, G M Jenkins, and G Reinsel, Time Series Analysis Forecasting and Control 3rd ed Englewood Cliffs, NJ Prentice-Hall, 1994.RELATED LINKS.